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Paradojas y errores de pensamiento

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Una paradoja es un argumento cuyas premisas son válidas y parecen tener sentido si cada una de ellas es pensada por separado, pero cuya conclusión es absurda.

Una de las paradojas más conocidas es la que estructuró el filósofo griego Zenón de Elea: La paradoja de Aquiles y la tortuga.

El argumento que presenta Zenón es el siguiente:

Aquiles y una tortuga competirán en una carrera. El sentido común nos dice que Aquiles ganará, algo que por obvias razones él también piensa. Así, Aquiles decide alardear de su ventaja y permite que la tortuga salga primero. Después de un tiempo, Aquiles comienza a correr para alcanzarla y rebasarla. Sin embargo, Aquiles no reparó en que cada vez que él se acercara a la tortuga, la tortuga ya habría avanzado un poco más. De esta forma, a menos de que la tortuga se detuviera por completo, Aquiles jamás sería capaz de alcanzarla.

Zenón y la ilusión de la pluralidad y el movimiento

Zenón deseaba comprobar que el movimiento y la pluralidad de las cosas eran una mera ilusión. Con esta paradoja podía demostrar que si en realidad existían cosas distintas entre sí, también habría espacios entre ellas, espacios delimitados que podrían dividirse hasta el infinito. Si esto fuera cierto, uno jamás podría alcanzar cualquier otro objeto. Podemos imaginar esto al pensarnos frente a una taza. Si la taza y nosotros fuéramos cosas distintas y delimitadas, entre la taza y nosotros habría un espacio de, digamos, 1 metro. Pero este metro tendría dos espacios de 50 cm. cada uno y éstos tendrían espacios de 25 cm. entre ellos. De ser así habría espacios infinitos entre la taza y nosotros y jamás podríamos tomarla. Por esta razón, la idea de pluralidad y diferencia entre las cosas debería ser una ilusión, un engaño de nuestro sentido común y ello debería comprobarse a partir de la lógica.

La paradoja funcionó para mostrar que, en efecto, el argumento contaba con premisas razonables pero que el resultado era evidentemente absurdo: Aquiles siempre le ganaría a la tortuga, no tenía sentido pensar en lo contrario.

A partir de este argumento, Zenón estableció que todo debe ser uno, que la multiplicidad es ilógica y que la diferencia y el espacio vacío no eran posibles. Este pensamiento lo heredó de otro filósofo griego, su maestro Parménides. Asimismo, las ideas de estos filósofos eleáticos (porque ambos eran de la región de Elea) fueron adoptadas por uno de los pensadores más importantes e influyentes de aquella época: Aristóteles, sobre todo en su libro de la Física y específicamente en su negación a la existencia del vacío.

La resolución de la paradoja

Pero volvamos a la paradoja. Algo que no consideró Zenón y que ahora podemos comprobar a partir del cálculo es que una de sus premisas no era válida.

Al establecer en una de sus premisas que Aquiles debería recorrer un número infinito de espacios en una cantidad de tiempo infinita para alcanzar a la tortuga, el filósofo no tenía en cuenta que cualquier sucesión infinita de números positivos menores a 1, es igual a 1.

Así es, el cálculo nos enseña que 0.9999… es igual a 1.

Entre las demostraciones de esto tenemos las Cortaduras de Dedekind y las Sucesiones de Cauchy. Hay diversas explicaciones y demostraciones de esta igualdad, por cierto, unas bastante complejas. En esta ocasión sólo se mostrará la comprobación más simple y la más utilizada por la aritmética elemental: la demostración por Fracciones y la División Euclidiana.

La ecuación es bastante simple. Decimos que 1/9 = 0.111… Sólo es cuestión de hacer la división para comprobarlo.

Ahora ¿qué pasaría si si multiplicamos 1/9 por 9? Lógicamente también tendríamos que multiplicar 9 por 0.1111… para mantener la igualdad. Así:

 9 por 1/9 = 9 por 0.1111…

 Si resolvemos esta ecuación tendremos que en “9 por 1/9” los números 9 se cancelan, por lo que de ese lado de la igualdad, nos quedará solamente el 1.

Del otro lado de la igualdad, si multiplicamos 9 por 0.1111… tendremos 0.999… como resultado. Así:

 1 = 0.9999…

Si Zenón decía que entre Aquiles y la tortuga había espacios infinitos por recorrer en una cantidad de tiempo infinito, entonces tendríamos muchos periodos de tiempo: T0, T1, T2, T3… y cada uno de estos periodos sería cada vez más corto. Por lo tanto si T1 fuera 10 minutos, T2 sería 5 minutos, T3 sería 2.5 minutos y así, sucesivamente. Otra forma de representar esto es con fracciones. De ese modo T1 sería 1/2, T2 sería 1/4, T3 sería 1/8 y así sucesivamente.

Al realizar la suma de todas estas porciones de tiempo llegaríamos al punto en el que tendríamos como resultado 0.99999999999999… y como ya vimos, esto sería igual a 1.

Matemáticas para pensar 

Con base en esto (y a sabiendas de que esta vez se les presenta un análisis muy general que sacrifica exactitud a favor de la claridad), podemos decir que Zenón estaba equivocado en su premisa al dar por hecho que siempre sucederá que la suma de una secuencia de cantidades positivas de tiempo, da como resultado un periodo más largo de tiempo. Como hemos comprobado, esto no es cierto, no podemos decir que sucede siempre, pues la suma de una secuencia infinita de números racionales (fracciones), nos dará como resultado 1, no más.

Las paradojas, como se pudo mostrar en este caso, representan un reto de orden matemático. La ventaja directa de resolver una paradoja como la de Zenón, implica desmontar un argumento no válido que de cualquier otra forma podría parecernos válido.

Esto nos enseña la importancia del “cómo” enunciamos lo que consideramos verdadero, la forma en la que usamos el lenguaje para comprender y expresar nuestro entorno. Es un buen ejercicio para darnos cuenta de que muchas veces estructuramos mal nuestros enunciados y por lo tanto, pensamos de forma incorrecta. A su vez, esto afecta como una reacción en cadena, pues si alguien es capaz de convencer a otro alguien de cualquier cosa con argumentos que sólo parecen válidos pero no lo son, el error será aceptado por el otro quien, a su vez, convencerá a alguien más con esta idea equivocada.

Cuando nos dicen en la escuela que las matemáticas nos serán útiles durante toda nuestra vida, jamás imaginamos que éstas estarán en acción incluso cuando pensamos y hablamos.

Si ponemos sólo un poco de atención a los enunciados que utilizan otras personas, podemos darnos cuenta de que todos somos presas constantes de errores lógicos, de que enunciamos de forma incorrecta y por lo tanto, pensamos de forma equivocada.

¿Cuántas de nuestras ideas y creencias se basan en argumentos inválidos?

Para nuestra fortuna contamos con herramientas para pensar como lo son la lógica y las matemáticas, herramientas no siempre infalibles, pero sin duda, bastante útiles.